Durchdringung von Körpern

Wie ursprünglich alles begann!

16:00, 20.06.2010 .. 0 Kommentare .. Link

 

Den Grundstein legten Johannes Kepler und Louis Poinsot:

Ich werde mich hier auf die mathematischen bzw. geometrischen Reize konzentrieren. Johannes Kepler (1571-1630) ermöglichte bereits 1619  in seinem Buch Harmonice Mundi den ersten mathematischen Zugang zu den Durchdringungskörpern. Hier behandelt er den kleinen gesternten Dodekaeder und den großen gesternten Dodekaeder. Louis Poinsot (1777-1859) beschrieb dann 1809 den großen Dodekaeder und dan großen Ikosaeder.  

 Die vier Durchdringungskörper nennt man die Kepler - Poinsot- Körper:

Was sind also nun die Kepler-Poinsot-Körper?
Es gibt neun regelmäßige Körper. Fünf sind konvex und bilden die bekannten platonischen Körper.
 

 


Dazu kommen noch vier nichtkonvexe Körper, die Kepler-Poinsot-Körper:


Kleines Sterndodekaeder 

Großes Sterndodekaeder 

Großes Dodekaeder 

Großes Ikosaeder 

Die ersten beiden Sternkörper gehen auf Johannes Kepler zurück, die beiden anderen auf Louis Poinsot.

Quellen: http://www.mathematische-basteleien.de/keplerpoinsot.htm

 

 

 

 



Körper allgemein

17:50, 16.06.2010 .. 0 Kommentare .. Link

Für dieses Thema braucht man erst einmal Körper (Geometrie). In der Geometrie versteht man unter einem Körper eine dreidimensionale beschränkte geometrische Form, welche durch Grenzflächen beschrieben werden kann.

Eine geometrische Form heißt dabei dreidimensional, wenn sie in keiner Ebene vollständig enthalten ist, und beschränkt, wenn es eine Kugel gibt, welche diese Form vollständig enthält. Eine solche soeben beschriebene geometrische Form nennt man einen dreidimensionalen Körper. Die bekanntesten Körper besitzen flache oder kreis- bzw. kugelförmige Grenzflächen. Als Beispiele dienen Kegel, Kugel, Zylinder, Prisma, Pyramide, Tetraeder, Würfel, sowie die fünf regulären Polyeder. Wenn ein Körper ausschließlich von ebenen Flächen begrenzt wird, spricht man von einem Polytop oder von einem beschränkten Polyeder.

 

Die fünf regulären Polyeder

Aus den platonischen Körpern abgeleitete Polyeder

Wegen der starken Regelmäßigkeit der platonischen Körper kann man leicht andere Körper von ihnen ableiten, die auch wieder sehr regelmäßig sind. Man muss dazu nur die gleichen Konstruktionen symmetrisch auf Flächen, Kanten oder Ecken anwenden. Ein Beispiel dafür sind die dualen Körper, die sich dadurch ergeben, dass man den Mittelpunkt jeder Fläche mit den Mittelpunkten der angrenzenden Flächen verbindet.

Einbeschreibungen

Es bestehen durchaus noch andere Möglichkeiten, einen platonischen Körper in einen anderen einzubauen.

Würfel und Dodekaeder

Zum Beispiel erhält man einen Tetraeder, wenn man die Diagonale einer Würfelfläche als eine Kante verwendet, die dazu windschiefe Diagonale auf der gegenüberliegende Fläche als eine andere, und als die anderen vier Kanten die Diagonalen benutzt, die die Enden der beiden verbinden.

Einen Oktaeder erhält man, wenn man Flächen durch die Mittelpunkte der Kanten eines Tetraeders legt.

Aus einem Würfel erhält man einen Dodekaeder, wenn man auf jede Seitenfläche ein geeignetes Dach aufsetzt; umgekehrt erhält man durch eine passende Auswahl von Flächendiagonalen auf einem Dodekaeder den Würfel.

Abgestumpfte platonische Körper

Wenn man von einem platonischen Körper ausgehend ein abgestumpftes Polyeder erzeugt, indem man seine Ecken so abschneidet, dass danach alle Kanten gleich lang sind, so erhält man einen halbregulären (archimedische) Körper. Dieser Körper entsteht auch als Schnitt des platonischen Körpers mit seinem passend vergrößerten Dualkörper.

Truncatedtetrahedron.jpg Truncatedhexahedron.jpg Truncatedoctahedron.jpg Truncateddodecahedron.jpg Truncatedicosahedron.jpg
Abgestumpfter Tetraeder Abgestumpfter Würfel Abgestumpftens Oktaeder Abgestumpftes Dodekaeder Abgestumpfter Ikosaeder

Archimedische Körper sind Beispiele für ziemlich regelmäßige Körper, bei denen Polygone verwendet werden, die zwar regelmäßig, aber von unterschiedlicher Seitenzahl sind.

Sternkörper

Baut man Pyramiden auf den Seitenflächen auf, anstatt abzuschneiden, erhält man Sternkörper, wie das Sterntetraeder.

Verwendet man für die Pyramiden gleichseitige Dreiecke, hat man Beispiele für Polyeder, die vollständig aus gleichen Polygonen bestehen, bei denen aber unterschiedlich viele in den Ecken zusammenstoßen.

 

Quellen: http://www.uni-protokolle.de/Lexikon

 



Durchdringende Polyeder

17:22, 16.06.2010 .. 0 Kommentare .. Link

 

 

 

 Durchdringende Polyeder

Wenn sich Polyeder durchdringen hat man nicht das Problem, dass sich anschließend kein Körper ergibt. Dennoch entsteht auch hier im Normalfall beim Schnitt von mehreren konvexen Polyedern kein konvexer Durchdringungskörper. Um nicht zu komplexe Körper zu konstruieren werde ich mich mit der Durchdringung von regelmäßigen konvexen Körpern, also den platonischen Körpern beschäftigen.

 

 

Als Beispiel 2 Tetraeder die sich schneiden.

Quelle: http://www.chemieunterricht.de

 

 

 

 



Eulersche Polyederformel

17:15, 13.06.2010 .. 0 Kommentare .. Link

 

Klassifikation:

Neben den 5 platonischen Körpern (Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder) gibt es nur 4 weitere reguläre Polyeder, die Kepler-Poinsot-Körper (das große Dodekaeder, das große Ikosaeder, das große Stern-Dodekaeder, das kleine Stern-Dodekaeder).

Für jeden der regulären Polyeder bestimmen wir die Anzahl E der Ecken, K der Kanten und F für die Seitenflächen.

SATZ: Für jedes konvexe Polyeder gilt E-K+F=2

Für ebene Polygone gilt übrigens E=K oder E-K=0.

Beispiele: 

 

Tetraeder: E=4, F=4, K=6                   4+4-6=2

Dodekaeder: E=20 ,F=12 , K=30        20+12-30=2

 

Quellen: http://www.math.uni-bielefeld.de

 

 

 

Die Eulersche Polyederformel



Ikosidodekaeder

17:02, 13.06.2010 .. 0 Kommentare .. Link

 



Ikosidodekaeder - ein uniformer Polyeder

21:52, 12.06.2010 .. 0 Kommentare .. Link

Uniforme Polyeder

Definition:Ein geometrischer Körper heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten, die zu ihm gehören, auch die Strecke zwischen diesen Punkten vollständig zu diesem Körper gehört.

Hierdurch werden alle Körper ausgeschlossen, die "Löcher" oder "Dellen" enthalten.

Definition: Ein Polyeder (Vielflächner) ist ein geometrischer Körper, dessen Oberfläche aus ebenen Vielecken besteht.

Hierdurch werden alle Körper ausgeschlossen, die gekrümmte Kanten oder Oberflächen enthalten, insbesondere also Kugeln, Kegel und Zylinder.

Hier ein Beispiel für einen Polyeder:

Dies ist auch ein Ikosidodekaeder.

 

 

Arten der Durchdringung

 Durchdringende Polygone

 

 

Ich habe mich mit der Durchdringung von Polyedern beschäftigt. Hierbei benötigt man Polygone die sich so im Raum schneiden, dass ein Polyeder mit Rauminhalt, also ein Körper entsteht. Auch wollen wir uns der Einfachheit halber auf Durchdringungskörper beschränken, welche durch kongruente Polygone erzeugt werden. Allerdings lassen wir zu, dass „Lücken" durch andere aber ebenfalls kongruente Polygone abgedeckt werden.

Polygone können sich durchdringen, ohne dass sich ein Körper bildet. So durchschneiden sich z.B. regelmäßige Fünfecke so, dass sie alle den selben Umkreismittelpunkt haben. Man könnte also diese Skulptur in eine Kugel einbeschreiben.
Man unterscheidet die Durchdringung von Polygonen und die Durchdringung von Polyedern. 

 

 

Quelle: http://mathematik.ph-weingarten.de

 



Grundkörper - Pentagondodekaeder

21:07, 27.05.2010 .. 0 Kommentare .. Link

 

 

Wir sehen zwei Durchdringungskörper, die beide einen
Pentagondodekaeder als Grundkörper haben.

Grundkörper: Pentagondodekaeder

 

 Es entsteht aus dem obrigen Grundköper ein Dodekadodekaeder...

 

  ... und auch dieser Würfelfünfling kann daraus entstehen.

Quellen:

mathe.tu-freiberg.de,  www.brg22.ac.at/acg/polyeder.html

 

 



POLYEDER

17:54, 22.05.2010 .. 0 Kommentare .. Link

 

 

 

Reguläre Polyeder, auch platonische Körper genannt wurden nach dem griechischen Philosophen Platon benannt. Gemeint sind die fünf besonders regelmäßigen konvexen Polyeder (Vielflächner). Für diese Polyeder ist charakteristisch, dass ihre Seitenflächen zueinander kongruente regelmäßige Vielecke sind und dass von denen in jeder Ecke jeweils gleich viele zusammentreffen. Deshalb bezeichnet man sie auch noch als reguläre oder regelmäßige Körper.

Die Namensgebung stammt aus dem griechischen und bezieht sich auch die Anzahl ihrer Seitenflächen. Tetraeder (hat 4 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen), Hexaeder (hat 6 Quadrate als Seitenflächen = ein Würfel), Oktaeder (hat 8 Seitenflächen, dies sind gleischseitige Dreiecke), Dodekaeder (zwölf regelmäßige Fünfecken als Seitenflächen) und Ikosaeder (Zwanzigflächner aus zwanzig gleichseitigen Dreiecken).

Platonische Körper sehen …

- an jeder Ecke „gleich aus„.

- an jeder Kante „gleich aus„.

- an jeder Seitenfläche „gleich aus“.

 

 

 

Klassifikation:

Neben den 5 platonischen Körpern (Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder) gibt es nur 4 weitere reguläre Polyeder, die Kepler-Poinsot-Körper (das große Dodekaeder, das große Ikosaeder, das große Stern-Dodekaeder, das kleine Stern-Dodekaeder).

 

Die Eulersche Polyederformel

Für jeden der regulären Polyeder bestimmen wir die Anzahl E der Ecken, K der Kanten und F für die Anzahl der Seitenflächen.

SATZ: Für jedes konvexe Polyeder gilt E-K+F=2

Für ebene Polygone gilt übrigens E=K oder E-K=0.

Beispiele:

Tetraeder: E=4, F=4, K=6

4+4-6=2

Dodekaeder: E=20 ,F=12 , K=30

20+12-30=2

Quellen: http://www.math.uni-bielefeld.de

 



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